Raciocínio Lógico

 

Estrutura lógica das relações entre pessoas, lugares, objetos ou eventos (associações lógicas)

 

  • As associações entre (em geral até três) pessoas e (dois ou três) objetos, pode-se usar o seguinte procedimento:
    • deve-se desenhar uma tabela por meio de linhas, que representam as pessoas, e colunas, que representam os objetos.
    • a partir das sentenças apresentadas, preencha as células da tabela para identificar a associação (√) ou não associação (X), tipicamente como:
      • sentenças com ‘não/nem’ → indica a não associação (X);
      • sentenças com ‘ou’ → pode-se inferir que a pessoa/objeto não citada/o não é/está (X);
    • após uma associação (√) ser realizada com sucesso, marque como não associado (X) nas demais células da linha e da coluna da respectiva associação;
    • após a avaliação das sentenças, todas as células da tabela devem ser marcadas com √ ou X, e a associação estará concluída, podendo, quando cabível, criar hipóteses.
  • Associações em mesa circular;
    • desenhe a mesa e os lugares, identifique os sentidos de cada um dos lugares, um sentido é suficiente;
    • analise as sentenças usando as referencias de esquerda e direita a partir de cada pessoa sentada a mesa;
  • Associações em fila (horizontal ou vertical);
    • desenhe a fila e analise as sentenças;
    • o termo ‘está a frente’ não significa que está imediatamente a frente;
    • o termo ‘depois’ está a direita;
  • Associações entre times vencedores/perdedores;
    • desenhe a tabela com linhas e colunas representando todos os times;
    • elimine as relações entre o mesmo time (não há jogo entre o mesmo time);
    • elimine as relações entre os times vencedores (não há jogos entre os vencedores de cada rodada);
    • elimine as relações entre os times perdedores (não há jogos entre os perdedores de cada rodada).
  • Associações entre pessoas da família;
    • desenhe a hierarquia familiar e analise as sentenças.
  • Deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

 

Compreensão e elaboração da lógica das situações (adivinhação lógica)

 

  • Verdades e mentiras;
  • Raciocínio verbal;
  • Orientação espacial (rosa dos ventos: ↑norte, →leste, ↓sul, ←oeste);
    • fazer a operação N−S e L−O para obter o menor caminho ao ponto final;
  • Formação de conceitos;
  • Discriminação de elementos;
  • Raciocínio temporal
    • 1 ano comum → 52 semanas e 1 dia;
    • 1 ano bissexto → 52 semanas e 2 dias;
    • ano bissexto → múltiplos de 4, mas não os múltiplos de 100, exceto os múltiplos de 400;
    • número de anos de 1898 a 2012 → 2012−1898 + 1 = 115
    • número de anos bissexto de 1904 a 2012 → (2012−1904)÷4 + 1 = 28
    • para determinado dia do ano, passa-se 1 dia da semana em ano comum;
      • 2009 (2º), 2010 (3º), 2011 (4º)
    • para determinado dia do ano, passe-se 2 dias da semana em anos bissextos;
      • 2011 (4º), 2012 (6º), 2013 (sábado)
    • para determinado dia do ano, passa-se 5 dias da semana entre anos bissextos:
      • 2004 (domingo), 2008 (6º), 2012 (4º), 2016 (2º), 2020 (sábado), 2024 (5º), 2028 (3º), 2032 (domingo)
    • século XIX → 1801 a 1900
    • dezenas do ano que nasceu é igual a idade → (1900+x)
      • 1900+x…………..1972 ∴ 1972−(1900+x) = x ∴ x=36
    • nasceu em 19XY e morreu em 19YX, e sua idade era a soma dos algarismos do seu nascimento;
      • 1900+10y+x − (1900+10x+y) = 1+9+X+Y
      • 4y = 5 + 5x ∴ y = 5(1+x)/4 ∴ para y inteiro, x = 3

 

Raciocínio sequencial

 

  • Sequência lógica do crescimento entre os valores (existe um padrão);
    • 6 → 7 → 9 → 13 → 21 → ? (dobrando os incrementos, ?=37)
    • 7 → 5 → 10 → 8 → 16 → 14 → 28 → 26 → 52 → … → 13º → … → 16º (subtrai 2 e multiplica por 2, 13º=196 e 16º=386)
    • 2 → 5 → 4 → 7 → 6 → 9 → 8 → 11 → 10 → 13 → 12 → … → 112º (as posições pares são três valores a mais que a posição, 112º=115)
    • 4 → 11 → 32 → 95 → 5º → 6º (acréscimo 3x maior a cada posição, 5º=284 e 6º=851)
    • 3 → 7 → 15 → 31 → 63 → 127 → 255 → 8º → 9º → 10º (acréscimo 2x maior a cada posição, 10º=2047)
  • Sequências com ciclos (dividir a posição pelo número de elementos do ciclo, o resultado é o número de ciclos e o resto é o número de elementos do próximo ciclo)
  • Sequências de regressão (conjunto de operações);
  • Sequências de letras (letras iniciais de sequências conhecidas → JJASOND, MMJSN, PSTQQS, DTCSNOTD);
  • Sequências de figuras

 

Princípio das gavetas ou das casas dos pombos

 

  • Princípio das gavetas → associação de mais objetos do que posições disponíveis (gavetas);
    • a repetição obrigatoriamente ocorrerá quando o número de objetos for uma unidade maior que o de gavetas;
    • a repetição esperada só ocorrerá quando não houver outra opção possível;
  • Princípio da sorte absoluta (mínimo número de objetos)
    • quantas pessoas (O), no mínimo, tem-se que reunir, para ter-se certeza que ao menos duas, fazem aniversário no mesmo mês (G);
      • Atenção! O objetivo é preencher os meses (gavetas) com pessoas (objetos) antes de ocorrer a repetição;
      • com muita sorte → O = uma em cada mês + 1 ∴ O = 13
    • quantas pessoas (O), no mínimo, tem-se que reunir, para ter-se certeza que pelo menos duas que nasceram no mesmo dia da semana (G);
      • Atenção! O objetivo é preencher os dias da semana (gavetas) com pessoas (objetos) antes de ocorrer a repetição;
      • com muita sorte → O = uma em cada dia da semana +1 ∴ O = 8
    • quantas pessoas (O), no mínimo, tem-se que reunir, para ter-se certeza que pelo menos três (R), farão aniversário no mesmo mês (G);
      • Atenção! O objetivo é preencher os meses (gavetas) com pessoas (objetos) antes de ocorrer a terceira repetição;
      • com muita sorte → O = duas em cada mês + 1 ∴ O = 25
  • Princípio do azar absoluto (máximo número de objetos)
    • uma urna contém 14 bolas vermelhas, 15 pretas, 5 azuis e 11 brancas. Retirando-se ao acaso uma bola por vez dessa urna, o número mínimo de retiradas para se ter certeza que:
      • uma bola preta esteja entre as que foram retiradas é:
        • com muita sorte → Retiradas = 1P ∴ R = 1 bola;
        • com muito azar → Retiradas = 14V + 5A + 11B + 1P  ∴ R = 31 bolas;
      • uma bola branca esteja entre as que foram retiradas é:
        • com muita sorte → Retiradas = 1B ∴ R = 1 bola;
        • com muito azar → Retiradas = 14V + 15P + 5A + 1B  ∴ R = 35 bolas;
      • uma de cada cor esteja entre as que foram retiradas é:
        • com muita sorte → Retiradas = 1V + 1P + 1A + 1B ∴ R = 4 bolas;
        • com muito azar → Retiradas = 14V + 15P + 11B + 1A  ∴ R = 41 bolas;
      • duas de uma mesma cor esteja entre as que foram retiradas é:
        • com muita sorte → Retiradas = 1P + 1P ∴ R = 2 bolas;
        • com muito azar → Retiradas = 1V + 1P + 1A + 1B + 1  ∴ R = 5 bolas;
    • em um setor público com 24 funcionários, 10 são advogados, 8 são contadores, 4 são administradores e 2 são economistas. Um grupo de trabalho deverá ser formado com estes funcionários, sabendo-se que nenhum deles possui mais de uma formação. Escolhendo aleatoriamente funcionários deste setor, o número de funcionários que se deve escolher para ter certeza de que pelo menos três possuam a mesma formação é:
      • com muita sorte → Grupo = 3Adv ∴ G = 3 funcionários;
      • com muito azar → Grupo = 2Adv + 2C + 2Adm + 2E + 1 ∴ G = 9;
    • um baralho convencional possui 53 cartas, sendo 13 de cada naipe (pais, copas, espadas e ouros). O número mínimo de cartas que devem ser retiradas de um baralho convencional para que se possa afirmar que necessariamente, dentre as cartas retiradas, haverá pelo menos uma de cada naipe é igual a:
      • com muita sorte → Cartas = 1P + 1C + 1E + 1O ∴ C = 4 cartas;
      • com muito azar → Cartas = 13P + 13C + 13E + 1O ∴ C = 40;
    • em uma floresta com 1002 árvores (objetos), cada árvore tem de 900 a 1900 folhas (1001 gavetas). De acordo apenas com essa informação, é correto afirmar que:
      • ao menos duas árvore dessa floresta têm o mesmo número de folhas (ao distribuir as 1002 árvores em 1001 gavetas, a última árvore irá ter o mesmo número de folhas que outra árvore, assim, ao menos duas árvores terão o mesmo número de folhas);

 

Raciocínio Lógico Qualitativo (lógica de argumentação ou proposicional)

    A compreensão do processo lógico argumentativo, conduz, a partir de um conjunto de hipóteses com preposições lógicas, de forma válida, a conclusões determinadas.

 

  • Proposição lógica → é uma sentença declarativa fechada e que possui valor lógico de verdadeiro (V) ou false (F);
  • Proposição simples → declara uma única coisa sobre um único objeto
    • Ana é advogada.
    • X.0 é igual a zero.
    • Se José é estudioso, então ele será aprovado.
    • As retas r e s são paralelos (proposição simples pois não é possível desmembrar)
  • Proposição composta → conexão de duas ou mais conexões simples
    • Pedro e Paulo são médicos (o CESPE considera como proposição simples)
    • João é réu e Mateus é juiz.
    • Se Maria é feia, então Clara é alta.
    • O boi late ou a cabra nada.
  • Não são proposições
    • Interrogações, exclamações, ordens, sentenças abertas e paradoxos;
    • A expressão x + y é positiva;
    • X é par (sentença aberta);
    • Ele é advogado (sentença aberta);
    • Ele foi o melhor o melhor jogador do mundo (sentença aberta);
    • “A frase dentro destas aspas é uma mentira” (paradoxo → contradição a verdade lógica);

 

Operadores lógicos

 

  • Negação (troca) → “Não” (~,¬) ∴ nem
    • ~V = F
    • ~F = V
    • O rio não é doce.
    • O leão não é brabo.
    • A máquina não está ligada = A máquina está desligada.
  • Conjunção (todas) → “E” (∧) ∴ MAS, APESAR DE, EMBORA
    • V ∧ V = V
    • V ∧ F = F
    • F ∧ V = F
    • F ∧ F = F
    • O sol é quente e o mar é doce.
    • Tenho sono, mas vou estudar.
  • Disjunção inclusiva (basta uma) → “OU” (∨)
    • V ∨ V = V
    • V ∨ F = V
    • F ∨ V = V
    • F ∨ F = F
    • Dois é par ou o sol é frio.
  • Disjunção exclusiva (somente uma) → “OU …, OU …” (∨)
    • V ∨ V = F
    • V ∨ F = V
    • F ∨ V = V
    • F ∨ F = F
      • Tabela verdade inversa da bi-condicional;
  • Condicional (só dá falso de V para F) → “SE …, ENTÃO …” (→) ∴ QUANDO, SEMPRE, TODO, LOGO, POIS
    • V → V = V
    • V → F = F
    • F → V = V
    • F → F = V
    • Se for empresa financeira, então sempre haverá gerente.
    • Se gato voa, então porco pia.
    • Quando bebo, passo mal.
    • Sempre que bebo, passo mal.
    • Toda vez que bebo, passo mal.
    • Bebo, logo passo mal (logo = então).
    • Se bebo (antecedente), então passo mal (consequência)
    • Passo mal (consequência), pois bebo (antecedente).
      • Atenção! a preposição com ‘pois’ apresenta primeiro a consequência (pois = se).
    • Carlos cantar é condição suficiente para Diana dançar = Se Carlos cantar, então Diana dança.
    • Carlos cantar é condição necessária para Diana dançar = Se Diana dançar, então Carlos canta.
  • Bi-condicional (iguais dá verdadeiro, diferentes dá falso) → “SE E SOMENTE SE …” (↔)
    • V ↔ V = V
    • V ↔ F = F
    • F ↔ V = F
    • F ↔ F = V
      • Tabela verdade inversa da disjunção exclusiva;
    • Cinco é par, se e somente se, o sol não é frio.
    • Chover é condição necessária e suficiente para eu não sair de casa = Chove se e somente se eu não sair de casa.
  • Prioridade dos operadores lógicos (~ ∧ ∨ → ↔)
    • P → Q ∨ R
  • Tabela-verdade → tabela usada para determinar o valor das proposições compostas, a partir dos valores atribuídos a suas (n) proposições simples (2^n linhas).
    • Classificação → somente para proposições compostas;
      • Tautologia → todos os resultados da tabela-verdade são verdadeiros;
      • Contradição → todos os resultados da tabela-verdade são falsos;
      • Contingência → resultados da tabela-verdade são parte verdadeiros e parte falsos;
    • Negação e disjunção inclusiva (P/Q ∴ 2² = 4 linhas)
      • P  Q  ~Q   (P∨~Q)
      • V   V    F         V
      • V   F    V         V
      • F   V    F         F
      • F   F    V         V
    • Conjunção e condicional (P/Q/R ∴ 2³ = 8 linhas)
      • P  Q  R  (P∧Q)  (P∧Q)→R
      • V   V  V      V            V
      • V   V  F      V            F
      • V   F  V      F            V
      • V   F  F      F            V
      • F   V  V      F            V
      • F   V  F      F            V
      • F   F  V      F            V
      • F   F  F      F            V

 

Proposições equivalentes (modus tollens e leis de Morgan)

 

São proposições que apresentam a mesma tabela-verdade;

  • Equivalência dos operadores lógicos
    • A∧B ⇔ B∧A
    • A∨B ⇔ B∨A
    • A∨B ⇔ B∨A
    • A↔B ⇔ B↔A
    • A→B ≠ B→A
  • Equivalência do condicional (inverte tudo)
    • P→Q ⇔ ~Q→~P
    • P→~Q ⇔ Q→~P
    • ~P→Q ⇔ ~Q→P
    • ~P→~Q ⇔ Q→P
  • Equivalência do condicional para disjunção inclusiva (nega o se ∨ copia o então)
    • P→Q ⇔ ~P∨Q
    • P→~Q ⇔ ~P∨~Q
    • ~P→Q ⇔ P∨Q
    • ~P→~Q ⇔ P∨~Q
  • Equivalência da disjunção inclusiva para o condicional (nega o se → copia o então)
    • P∨Q ⇔ ~P→Q
    • P∨~Q ⇔ ~P→~Q
    • ~P∨Q ⇔ P→Q
    • ~P∨~Q ⇔ P→~Q
  • Equivalência da negação do condicional para conjunção (copia o se ∧ nega o então)
    • ~(P→Q) ⇔ P∧~Q
    • ~(P→~Q) ⇔ P∧Q
    • ~(~P→Q) ⇔ ~P∧~Q
    • ~(~P→~Q) ⇔ ~P∧Q
  • Equivalência da negação da conjunção (troca tudo)
    • ~(P∧Q) ⇔ ~P∨~Q
    • ~(P∧~Q) ⇔ ~P∨Q
    • ~(~P∧Q) ⇔ P∨~Q
    • ~(~P∧~Q) ⇔ P∨Q
  • Equivalência da negação da disjunção inclusiva (troca tudo)
    • ~(P∨Q) ⇔ ~P∧~Q
    • ~(P∨~Q) ⇔ ~P∧Q
    • ~(~P∨Q) ⇔ P∧~Q
    • ~(~P∨~Q) ⇔ P∧Q
  • Equivalências
    • P→Q ⇔ ∼Q→∼P (volta negando ambas)
    • P→Q ⇔ ~P ∨ Q (nega o se ∨ copia o então)
    • P∨Q ⇔ ~P → Q (nega o se → copia o então)
    • ~(P→Q) ⇔ P∧∼Q (copia o se ∧ nega o então)
    • ~(P∧Q) ⇔ ~P ∨ ~Q (troca tudo)
    • ~(P∨Q) ⇔ ~P ∧ ~Q (troca tudo)

 

Diagramas lógicos

 

  • Representação gráfica de expressões quantificadoras
    • Quantificador universal (∀)
      • Todo A é B → A ⊃ B;
    • Quantificador existencial (∃)
      • Algum A é B, (pelo menos um, existe, nem todo) → A ∩ B;
      • Nenhum A é B → A ⊄ B;
  • Negação das expressões quantificadoras

    • Todo A é B → Algum A não é B;
    • Algum A é B → Nenhum A é B;
    • Nenhum A é B → Algum A é B;

 

Lógica de argumentação

 

  • Argumento → uma afirmação de que, partindo de determinadas premissas, chegamos a certa conclusão.
    • Argumento válido → a conclusão é inevitável;
    • Argumento inválido (falácia ou sofisma) → a conclusão não é inevitável;
    • Argumento formado por duas premissas e a conclusão (silogismo);
      • Meu lápis está na minha pasta (premissa).
      • Minha pasta está no carro (premissa).
      • Logo, meu lápis está no carro (conclusão).
    • Argumento inválido de duas premissas (silogismo sofismático);
      • Minha camisão está no banheiro (premissa).
      • E o cesto está no banheiro (premissa).
      • Logo, minha camisa está no cesto (conclusão).
    • Premissas podem também ser indicadas por ‘uma vez que’ e ‘visto que’;
    • Conclusões podem ser indicadas por ‘logo’;
  • Validade de argumentos
    • Expressões quantificadoras (todo, algum, nenhum) → representar as premissas por meio diagramas lógicos;
    • Expressões lógicas → representar as premissas por meio de conectivos;
      • Conclusões logo A, então B, deve-se considerar A verdadeiro e verificar se a valor proposto para B é inevitável;
      • Conclusões A ou B, deve-se analisar todas as premissas como verdadeiras;

 

Raciocínio Lógico Quantitativo

 

  • Análise combinatória → técnica de contagem;
    • Princípios da contagem
      • Princípio aditivo → reuni os elementos do conjunto (objetos estão montados);
      • Princípio multiplicativo → associa os elementos de um conjunto com o de outro conjunto (objetos serão montados);
        • Identifique o objeto a ser contado e de quantas partes é formado;
        • Identifique os elementos inicialmente possíveis para cada parte;
        • Avalie os critérios de repetição dos elementos, se distintos, se não duplicáveis (pessoas) ou se em blocos;
        • Identifique a quantidade de elementos possíveis para cada parte, e multiplique;
        • Identifique se os objetos são ordenados (arranjo) ou não ordenados (combinação);
        • Quando a ordem das partes não é significativa (conjunto de pessoas), haverá objetos em duplicidade, devendo-se fazer a correção dividindo pelo fatorial do número de partes;
    • Arranjo → a ordem é significativa e cria um novo objeto, não há correção;
      • Arranjo simples → elementos não se repetem (classificação de atletas), com ordem significativa;
        • 7 × 6 × 5
      • Arranjo com repetição → elementos podem se repetir (senhas de algarismos), com ordem significativa;
        • 7 × 7 × 7
      • Permutação simples → elementos não se repetem e todos são utilizados (ordenações de uma fila), com ordem significativa;
        • 7!
      • Permutação simples em blocos → elementos agrupados em blocos, não se repetem e todos são utilizados (organização de livros ), com ordem significativa;
        • 3! × 6! × 5! × 4! (três blocos, cada bloco formado por 6, 5 e 4 partes, respectivamente)
    • Combinação → a ordem não é significativa e duplica o objeto, sendo necessário a correção da duplicidade;
      • Combinação simples → elementos não se repetem, sem ordem significativa, com correção dividindo-se pelo fatorial do número de partes;
        • 7 × 6 × 5 ÷ 3!
      • Permutação com repetição → elementos podem se repetir, sem ordem significativa (anagramas de palavra com letras repetidas), com correção dividindo-se pelo produto dos fatoriais do número de cada parte repetida;
        • CORREGEDOR → 10! ÷ 2! × 3! × 2! = 151200
      • Permutação circular → elementos não se repetem, sem ordem significativa, com correção dividindo-se pelo número de partes.
        • 8! ÷ 8
  • Probabilidades (P = E ÷ Ω) → chance de um experimento aleatório ter um evento favorável dentro do espaço amostral;
    • espaço amostral Ω → o conjunto que reuni todos os resultados possíveis;
    • evento E → o conjunto que reuni os resultados favoráveis;
    • Caso básico → (P = E ÷ Ω)
      • experimento → escolher três pessoas para representantes;
      • espaço amostral Ω → combinação de oito amigos, três a três (C8,3 = 56);
      • evento E → o trio escolhido seja Carlos, Paulo e Ricardo;
        • P = 1 ÷ 56 ∴ 1,785%
      • experimento → número de posições que três amigos podem sentar juntos em 8 cadeiras;
      • espaço amostral Ω → permutação de 8 (P8 = 8!);
      • evento E → permutação simples em blocos (6! × 3!);
        • P = 6! × 3! ÷ 8! ∴ 3 ÷ 28
    • Probabilidade condicional → (P = E ÷ Ω); a condição reduz o espaço amostral;
      • experimento → sortear um homem, sabendo-se que tem olhos claros, dentre 100 pessoas, sendo 40 de olhos claros;
      • espaço amostral Ω → 40 pessoas;
      • evento E → 10 homens;
        • P = 10 ÷ 40 ∴ 25%
    • Eventos sucessivos (regra do “e” → ×) e União de eventos (regra do “ou” → +) em eventos independentes;
      • experimento → sortear duas bolas, sem reposição, de cores iguais, entre 5 bolas pretas e 7 vermelhas;
      • espaço amostral Ω → 12 bolas para o primeiro sorteio e 11 bolas para o segundo sorteio;
        • P = (5 ÷ 12).(4 ÷ 11) + (7 ÷ 12).(6 ÷ 11) ∴ (20 ÷ 132) + (42 ÷ 132) ∴ 31 ÷ 66

 

Raciocínio Matemático

 

Revisão de aritmética

 

  • Operações com números decimais
    • Adição → 2,36 + 3,089 = 5,440
    • Subtração → 4,76 − 2,509 = 2,251
    • Multiplicação →  2,548 x 4,3 = 10,9564 (multiplique sem considerar as vírgulas, depois preserve o número de decimais)
    • Divisão (dividendo, divisor e quociente)
      • 21,12 ÷ 4 = 5,28 (adicionar vírgula ao quociente quando baixar a parte decimal do dividendo)
      • 29,92 ÷ 4,25 = 7,04 (multiplicar por 100x para eliminar as vírgulas)
  • Operação com frações
    • Adição e subtração → calcular mmc entre as frações, dividi-se pelo denominador e multiplicá-lo pelo numerador;
    • Multiplicação → multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador;
    • Divisão → multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda; 2/3 ÷ 3/5 = 2/3 × 5/3 = 10/9
  • Potenciação
    • base → número a ser multiplicado;
    • potência → repetições da base;
    • 2³ = 2×2×2 → fatores;
    • base negativa → (−3)² = (−3)(−3) = 9
      • expoente par → resultado positivo
      • expoente ímpar → resultado negativo
    • propriedades
      • x° = 1
      • x¹ = x
      • 0ª = 0 (sendo a>0)
      • x¹.x² = x¹+² = x³
      • x³/x² = x³−² = x¹
      • (x²)³ = x².³
      • (x.y)² = x².y²
      • (a/b)² = a²/b²
  • Dízimas periódicas
    • Dízima → 3,19458301…
    • Dízima periódica simples → 3,7777… (sem ante-período)
    • Dízima periódica composta → 3,563333… (ante-período → 56)
    • Fração geratriz (não considerar a vírgula ou o zero no inteiro)
      • 1,5787878… = 1578−15/990 = 1563/990
      • 2,41777… = 2417−241/900 = 2176/900
      • 5,131313… = 513−5/99 = 509/99
      • 0,444… = 4−0/9 = 4/9
  • Expressões numéricas;

 

Números inteiros e racionais (conjuntos numéricos)

 

  • Números reais (união dos números racionais com os números irracionais)
    • Números racionais → …, −2, …, −3/2, …, 0, …, 5/2, …, 3, … (e dízimas periódicas)
      • Números inteiros → …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
        • Números naturais → 0, 1, 2, 3, …
    • Números irracionais → dízimas não periódicas (raízes não exatas, π)

 

Múltiplos e divisores

 

  • Números compostos → resultado de multiplicação (múltiplo);
  • Números primos → números indivisíveis, matéria-prima para formação de números compostos;
  • Fatoração → expressar um número composto em fatores, são os fatores primos de uma multiplicação;
    • 60 (número composto) = 2².3.5 (fatores primos)
  • Múltiplos → mult(5) = 0,5,10,15,20,25,…
  • Divisores (listar)
    • 60 → mmc(2,2,3,5) → divisores(1,2,4,3,6,12,5,10,20,15,30,60) ∴ 24 divisores inteiros (inclui os negativos)
  • Número de divisores (some 1 aos expoentes dos fatores e multiplique-os)
    • 60 = 2².3¹.5¹ = (2²+¹).(3¹+¹).(5¹+¹) ∴ d = ³.².² ∴ d = 12 divisores positivos ∴ 24 divisores inteiros
  • Mínimo múltiplo comum (mmc) → todos os fatores e com maior expoente;
    • fatoração individual → 84 = 2².3.7 ; 90 = 2.3².5 ∴ 2².3².5.7 = 1260
    • fatoração conjunta (números que dividem 84 ou 90) → (84,90)÷2; (42,45)÷2; (21,45)÷3; (7,15)÷3; (7,5)÷5; (7,1)÷7; (1,1) ∴ 2².3².5.7 = 1260
    • Questão (FCC) → Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em…
      • (12,15)÷2; (6,15)÷2; (3,15)÷3; (1,5)÷5 ∴ 2.2.3.5 = 60 dias ∴ 14 de dezembro ou 12 de fevereiro do próximo ano.
    • Palavras relacionadas em questões → a cada x, de x em x, coincidência, simultaneamente
  • Máximo divisor comum (mdc) → somente fatores comuns e de menor expoente;
    • fatoração individual → 84 = 2².3.7 ; 90 = 2.3².5 ∴ 2.3
    • fatoração conjunta (somente números que dividem 84 e 90) → (84,90)÷2; (42,45)÷3; (14,15) ∴ 2.3 = 6
    • Questão (Cespe) → O piso de uma sala retangular, medindo 3,52m × 4,16m, será revestido com ladrilhos quadrados, de maior dimensão possível, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre os ladrilhos vizinhos.
      • (352,416)÷2; (176,208)÷2; (88,104)÷2; (44,52)÷2; (22,26)÷2; (11,13) ∴ 2.2.2.2.2 = 32cm
  • Propriedade mmc × mdc
    • mmc(84,90) × mdc(84,90) = 84 × 90;

 

Números de grandezas proporcionais

 

  • Razões e proporções;
    • Razão é uma divisão (a/b) formado pelo antecedente (a) e consequente (b), sendo b ≠ 0;
    • Proporção é uma igualdade de razões (a/b = c/d) ou (a:b = c:d);
      • a/b = c/d ∴ b.c = a.d
      • a/b = c/d = a+c/b+d (divisão em partes proporcionais)
  • Divisão em partes proporcionais;
    • Diretamente proporcionais
      • 560 divido entre (a,b) na proporção (3,5) ∴ a/3 = b/5 = a+b/8 = 560/8 = 70 ∴ a = 210 ∴ b = 350;
    • Inversamente proporcionais
      • 720 divido entre (a,b) na proporção (2,7) ∴ a/7 = b/2 = a+b/9 = 720/9 = 80 ∴ a = 560 ∴ b = 160;
    • Diretamente e inversamente proporcionais
      • 44 divido entre (a,b) direta (2,3) e inversa (4,5) ∴ a/2.5 = b/3.4 = a+b/10+12 = 44/22 = 2
    • constante de proporcionalidade → valor a ser dividido (X) pela soma das proporções;
      • proporção direta → (a,b) (10,12) → a/10 = a/12 = X/22;
      • proporção inversa → (a,b) (12,10) → b/12 = b/10 = X/22;
  • Regras de três simples e composta;
    • monte as razões, a partir a do fato (linha superior) e da proposição (linha inferior) das grandezas;
      • Fato → Processos(90); Tempo(3h); Produtividade(100)
      • Proposição → Processos(75); Tempo(x); Produtividade (40)
    • prepare a equação igualando a fração da incógnita a multiplicação das demais razões;
      • Equação → 3/x = 90/75 × 100/40
    • agora, é necessário identificar a existência de proporcionalidade inversa, para inversão da razão;
    • deve-se analisar do ponto de vista da grandeza da incógnita (tempo) com relação a outra grandeza, devendo-se fixar a terceira e demais grandezas (isso é fundamental), assim:
      • Se a produtividade é fixa, quanto mais processos, mais tempo será necessário (direta);
      • Se o número de processos é fixo, quanto maior a produtividade, menor o tempo necessário (inversa);
      • Transposição → 3/x = 90/75 [d] × 40/100 [i] ∴ 6h e 15min
  • porcentagem → é uma razão centesimal, ou seja, é uma fração com denominar igual a cem;
    • 8% ∴ 0,08 ∴ 8/100
    • (FCC) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi:
      • 100 (comprou X) → P (vendeu X e comprou Y) → 161 (vendeu Y com 40% de P)
      • P × 1,4 = 161 ∴ P = 115 ∴ P é 15% maior que X
    • (FCC) Um comerciante comprou de um agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual com 60kg, e , por pagar à vista, obteve um desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao preço de R$ 8,50/kg, ele obteve um lucro de 20% sobre a quantia paga ao agricultor, então o preço de oferta era:
      • comprou 900kg por P=Po×0,8
      • (900kg × 8,5) − P = 0,2×P
      • 7659 = 0,16Po + 0,8Po ∴ Po = 7968,75
    • (Cespe) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamento em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de 37,5%.
      • Funcionários(100) → Folha(100)= R$ 1,00 por funcionário
      • Funcionários(80) → Folha(110) = (110/80) R$ 1,375 por funcionário → variação de 37,5%
  • problemas;

 

Equações

 

  • Equação de 1º grau → uma equação é uma igualdade entre duas expressões algébricas, denominas membros. Diz-se que uma equação é de primeiro grau quando a variável (x) não está elevada a nenhuma potência, ou seja, quando o seu expoente é 1. (3x − 6 = x + 8)
    • Solução → Isole no primeiro membro (da esquerda) todos os termos que contenham a variável, e, no segundo membro (da direita), os termos independente da variável;
    • A metade de um número somado a sua terça parte é igual a 25.
      • x/2 + x/3 = 25
      • 3x+2x = 6.25
      • x = 150/5 ∴ x = 30
    • Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros.
      • x/3 + 72 = x
      • x−3x/3 = − 72
      • −2x = −216 ∴ x = 108
    • As idade de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho.
      • x/3+x/2+x=99
      • 2x+3x+6x/6=99
      • x = 594/11 ∴ x = 54
    • (FCC) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123.
      • 7x/9+(3/5)(2x/9)=123
      • 7x/9+2x/15=123
      • 35x+6x=45.123
      • x = 45.123/41 ∴ x = 45.3 ∴ x = 135
    • (FCC) Gertrudes e Rubem receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgação de serviços. Sabendo que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela.
      • x+x/3=64+(x−x/3)
      • x/3+x/3=64
      • 2x = 64.3 ∴ x = 32.3 ∴ x = 96
  • Equação de 2º grau → uma sentença matemática que pode ser expressa por ax²+bx+c=0, onde x é a incógnita e a, b e c são coeficientes numéricos reais com a ≠ 0. Observe que o maior expoente da incógnita é dois. (x²−5x+6=0).
    • Solução → Equação completa (fórmula de Bhaskara): x=(−b±√Δ)/2a, onde Δ=b²−4ac
    • Solução → Equação incompleta (sem c): x²−5x=0 ∴ x.(x−5)=0 ∴ x=0 ou 5
    • Solução → Equação incompleta (sem b): x²−16=0 ∴ x=√16 ∴ x=±4
  • Sistema de equações → encontrar valores das variáveis que satisfaçam, simultaneamente, todas as equações.
    • Solução por substituição → 2x+3y=5 e x−4y=8 ∴ x=8+4y
      • 2(8+4y)+3y=5
      • 11y=−11 ∴ y =−1
    • Solução por adição → 2x+3y=5 e x−4y=8 ×(−2) ∴ −2x+8y=−16
      • (2x+3y−5=0) + (−2x+8y+16=0) ∴ 11y=−11 ∴ y=−1
    • Uma mesa de sinuca de R$ 360,00 devia ser comprada por um grupo de rapazes que contribuíam em partes iguais. Como quatro deles desistiram, a quota de cada dos outros ficou aumentada de R$ 15,00.
      • y.x = 360
      • (y+15).(x−4)=360 ∴ xy − 4y + 15x − 60 = 360 ∴ 15x − 4y − 60
      • 15x − 4(360/x) − 60 ∴ 15x²−60x−1440=0 ∴ x²−4x−96=0
      • Δ=(−4)²−4.1.(−96) ∴ Δ=400
      • x = (−(−4)±√400)/2.1 ∴ x’ = (4+20)/2; x” = (4−20)/2 ∴ x = 12 ∴ y = 30

 

Sistema de medidas

 

  • Medidas de comprimento (m) ⇒ km ↔ hm ↔ dam ↔ m ↔ dm ↔ cm ↔ mm (x10)
    • 25hm = 2500m
    • 1,25hm + 7,5dm = 125m × 75m = 200m
  • Medidas de capacidade (l) ⇒ kl ↔ hl ↔ dal ↔ l ↔ dl ↔ cl ↔ ml (x10)
  • Medidas de massa (g) ⇒ kg ↔ hg ↔ dag ↔ g ↔ dg ↔ cg ↔ mg (x10)
    • 756g = 0,756kg
  • Medidas de superfície (m²) ⇒ km² ↔ hm² ↔ dam² ↔ m² ↔ dm² ↔ cm² ↔ mm² (x100)
    • 1ha = 1hm² = 10.000m²
    • 18dam² = 180.000dm²
  • Medidas de volume (m³) ⇒ km³ ↔ hm³ ↔ dam³ ↔ m³ ↔ dm³ ↔ cm³ ↔ mm³ (x1000)
    • 4.350dam³ = 0,00435km³
  • Transformação
    • 1cm³ = 1ml
    • 1dm³ = 1l (leite)
    • 1m³ = 1.000l (caixa d’água)
    • 380min = 380 ÷ 60 = 6h 20min
    • 28,8min = 28min + 0,8 × 60 = 48s
    • 5,48h = 5h + 0,48 × 60 = 5h + 28,8min = 5h 28min 48s

 

Geometria básica

 

  • Áreas das figuras planas
    • Paralelogramo (Quadrado e Retângulo) → A = b × h
    • Triângulo → A = (b × h) ÷ 2
      • ângulos internos somam 180º
    • Losango → A = (D × d) ÷ 2
    • Trapézio → A = (B + b) × h ÷ 2
    • Círculo → A = π × r²
  • Teorema de Pitágoras → a² = b² + c²
  • Razões trigonométricas
    • senθ = cateto oposto ÷ hipotenusa
    • cosθ = cateto adjacente ÷ hipotenusa
    • tgθ = senθ ÷ cosθ = cateto oposto ÷ cateto adjacente
  • Questões
    • A soma de dois ângulos internos de um triângulo retângulo é igual a 120º. Sabendo que o lado menor desse triângulo mede 1cm, julgue os itens seguintes.
      • sen30º = 1 / h ∴ 1/2 = 1/h ∴ h = 2
      • 2² = 1² + x² ∴ x² = 3 ∴ x = √3

 



 

Reinaldo Gil Lima de Carvalho